Deux classes ont chacune une moyenne : la moyenne des deux n'est pas celle des élèves réunis. Et une option peut l'emporter dans chaque groupe tout en perdant au total. Ce guide explique ces deux pièges de l'agrégation et la façon de s'en protéger.
Pourquoi la moyenne des moyennes est fausse
Une classe de 10 élèves a 12 de moyenne, une classe de 30 élèves a 14. La moyenne des deux moyennes vaut 13, mais la moyenne des 40 élèves est de 13,5. Chaque élève de la grande classe pèse moins dans le calcul simple que chaque élève de la petite, ce qui est injuste.
Pondérer par les effectifs
La bonne méthode multiplie chaque moyenne par son effectif, additionne, puis divise par l'effectif total : (10 x 12 + 30 x 14) divisé par 40 donne 13,5. Cette moyenne pondérée rend à chaque observation le même poids. Dès que des groupes ont des tailles différentes, elle s'impose.1
Quand les poids ne sont pas des effectifs
Parfois le poids est un volume, un coût ou une surface. Un prix moyen d'un produit vendu dans trois magasins se pondère par les quantités vendues, pas par le nombre de magasins. Demandez toujours quel est le bon poids, c'est-à-dire ce que représente une unité de chaque groupe.
Le paradoxe de Simpson
Une option 1 réussit 8 fois sur 10 dans un groupe facile et 30 fois sur 100 dans un groupe difficile. L'option 2 réussit 70 fois sur 100 dans le groupe facile et 2 fois sur 10 dans le groupe difficile. L'option 1 gagne dans chaque groupe, 80 % contre 70 % et 30 % contre 20 %, mais perd au total, 34,5 % contre 65,5 %.2
D'où vient l'inversion
Les deux options n'ont pas été essayées dans les mêmes conditions : la première a surtout été confrontée au groupe difficile, la seconde au groupe facile. Les effectifs par groupe déséquilibrés créent l'inversion. Ce n'est ni une erreur de calcul ni un truc : c'est un effet de composition.
Quelle lecture retenir
Il n'existe pas de réponse mécanique. Si le groupe est une variable qui influence le résultat, comme la difficulté, la comparaison par groupe est plus fiable. Si le groupe est une conséquence de l'option, le résultat global peut être le bon. Il faut comprendre le mécanisme, pas seulement les chiffres.3
Réflexes face à un chiffre agrégé
Demandez la décomposition par groupe, les effectifs de chaque groupe et la manière dont les observations ont été réparties. Méfiez-vous d'une moyenne nationale qui cache des situations contrastées. Un chiffre global est un résumé : il peut être juste et, pourtant, ne décrire aucun cas particulier. Les chiffres sont illustratifs.
Checklist de lecture
- J'ai pondéré les moyennes par les bons effectifs.
- J'ai identifié ce que représente une unité de chaque groupe.
- J'ai demandé la décomposition par groupe.
- J'ai comparé la répartition des groupes entre les options.
- J'ai cherché le mécanisme avant de conclure.
Questions fréquentes
Peut-on parfois faire la moyenne simple de moyennes ?
Oui, si les groupes ont exactement le même effectif. Sinon la pondération est nécessaire.
Le paradoxe de Simpson est-il fréquent ?
Il apparaît dès que les groupes sont déséquilibrés et que le groupe influence le résultat. Il n'est pas rare dans les données observées.
Quelle moyenne croire : globale ou par groupe ?
Cela dépend du mécanisme. Aucune des deux ne s'impose par principe ; il faut comprendre l'origine des groupes.
La médiane évite-t-elle ce piège ?
Non. Une médiane de médianes pose le même problème, et l'inversion peut aussi se produire avec elle.
Notes
- La moyenne pondérée est la somme des produits valeur par poids, divisée par la somme des poids.↩
- Le paradoxe porte le nom du statisticien qui l'a décrit au milieu du XXe siècle ; on parle aussi d'effet de composition.↩
- Les spécialistes parlent de variable de confusion pour le groupe qui explique à la fois le choix de l'option et le résultat.↩
Ce guide présente des principes généraux et ne note ni ne recommande aucun site de l'annuaire. Les exemples chiffrés sont illustratifs. Les règles de droit éventuellement évoquées sont simplifiées : vérifiez-les auprès des sources officielles.
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- x̄Moyenne, médiane, modeLes trois façons de dire la valeur typique
- ◔Part d'un total et répartitionParts en %, plus grande part, effet d'arrondi
- ▤Tableau de fréquences par classesRegrouper une série en classes de même largeur